MATRIKS - Definisi, Sifat dan Contoh

Definisi

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

Notasi

Nama matriks menggunakan huruf kapital. Contoh: A, K, L, dst.
Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil maupun angka. Contoh: (1, 3, 5), (a, c, e), dsb.
Digunakan tanda kurung biasa atau kurung siku. Contoh: A=(1, 2, 3) atau A=[1, 2, 3]
Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran mxn. Contoh: matriks A merupakan matriks berordo 4x2
Notasi A=(aij), memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.

Jenis-jenis

  • Matriks Baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris.
    Contoh: A=(1, 2) atau A=[1, 2, 3]
  • Matriks Kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom.
    Contoh:
  • Matriks Bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran nxn.
    Contoh:
  • Matriks Nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol.
    Contoh: 
    

    

    Sifat-sifat dari matriks nol:
    (1) -A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
    (2) -A*0=0, begitu juga 0*A=0
  • Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.
    Contoh: 
    

    

    Sifat-sifat matriks identitas:
    (1) A*I=A
    (2) I*A=A
  • Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
    Contoh:
  • Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
    Contoh:

Operasi Aritmatik

Penjumlahan Matriks

Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A+B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan.

Contoh soal:

Pengurangan Matriks

Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil pengurangan (A-B) adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan.

Contoh soal:

Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij), maka matriks kA=(kaij) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan didepan atau dibelakang matriks. Contoh: [C]=k[A]=[A]k

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar:
(1) k(A+B)=kA+kB;

(2) k(A-B)=kA-kB;
(3) (k1+k2)C=k1C+k2C;

(4) (k1-k2)C=k1C-k2C;
(5) (k1.k2)C=k1(k2C).

Perkalian Matriks

Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif. Syarat perkalian adalah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Jika matriks A berukuran A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp, maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxp dimana

Contoh:


Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A2=A.A; A3=A2.A dan seterusnya. Apabila AB=BC, maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan). Apabila AB=AC, maka tidak dapat disimpulkan bahwa B=C. Apabila AB=0, maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0.
Terdapat beberapa Hukum perkalian matriks:
(1) A(BC)=(AB)C;
(2) A(B+C)=AB+AC;
(3) (B+C)A=BA+CA;
(4) A(B-C)=AB-AC;
(5) (B-C)A=BA-CA;
(6) A(BC)=(AB)C=B(AC);
(7) AI=IA=A.

Perpangkatan Matriks

Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan riil, dimana berlaku:
A2=A.A
A3=A2.A
A4=A3.A
A5=A4.A dan seterusnya.

Contoh:

Tentukan hasil dari A2 dan A3

Tentukan hasil dari 2A2 +3A3


Determinan Matriks

Setiap matriks persegi atau bujursangkar memiliki nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar. Fungsi determinan dinyatakan oleh det(A) (dibaca: determinan A). Det(A) sering dinotasikan dengan |A|. Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah:

Contoh:


Metode Sarrus

Pada matriks ordo 3x3, cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan metode sarrus. Metode sarrus hanya untuk matriks berordo 3x3.

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a31a22a13 - a32a23a11 - a33a21a12

Contoh:


Dengan menggunakan metode sarrus, tentukan nilai determinan matriks A!
Jawab:
det(A) = (-2.1.-1)+(2.3.2)+(-3.-1.0)-(-3.1.2)-(-2.3.0)-(2.-1.-1) = 2+12+0+6+0-2 = 18

Minor

Yang dimaksud dengan minor unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Dinotasikan dengan Mij.

Contoh:

Minor dari elemen a11

Minor-minor dari matriks A (ordo 3x3)

Kofaktor Matriks

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan cij=(-1)i+jMij

Contoh:

Kofaktor dari elemen a11
c23=(-1)2+3M23=-M23

Teorema Laplace

Determina dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya

Ekspansi Baris


Ekspansi Kolom

Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3.
Determinan matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama sebagai berikut.
Determinan matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua sebagai berikut.
Determinan matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga sebagai berikut.

Determinan matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama sebagai berikut.

Determinan matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua sebagai berikut.
Determinan matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga sebagai berikut.

Determinan Matriks Segitiga

Jika A adalah matriks segitiga bujursangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah, maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det(A)=a11.a22.a33 ... dst

Contoh:

det(A)=2.(-3).6.9.4=-1296

Transpose Matriks

Jika A adalah suatu matriks mxn, maka transpose A dinyatakan oleh AT dan didefinisikan dengan matriks nxm yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A dan seterusnya.

Contoh:

Beberapa sifat matriks transpose:
(1) (A+B)T = AT +BT
Pembuktian:
(2) (AT)T = A
Pembuktian:
(3) (AB)T = BT.AT
(4) (kA)T = k.AT

Matriks Simetri

Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
AT=A

Contoh:


Invers Matriks

Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I, AB=I. Notasi matriks invers: A-1. Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversnya akan menghasilkan matriks satuan, A-1.A=I.
Jika
Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M berordo 3x3 adalah:
(1) Cari determinan dari M
(2) Transpose matriks M sehingga menjadi MT
(3) Cari adjoin matriks
(4) Gunakan rumus:

Contoh:

Tentukan invers dari matriks M!
Jawab:
(1) Cari determinannya: det(M) = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = 1
(2) Transpose matriks M
(3) Adjoin matriks M
(4) Invers matriks M

Eigen Value dan Eigen Vektor

Definisi

Diberikan matriks A ordo nxn, maka vektor tak nol untuk setiap x ϵ Rn disebut Vektor karakteristik (Eigen vector) dari matriks A.
Jika berlaku Ax=λx untuk suatu skalar λ, maka λ disebut Nilai karakteristik (Eigen value) dari matriks A.
Ax=λx
Ax-λx=0
(A-λI)x=0
Vektor karakteristik merupakan solusi non trivial (solusi yang tidak semuanya nol) dari (A-λI)x=0. Agar diperoleh solusi non trivial, maka |A-λI|=0. |A-λI|=0 disebut polinomial karakteristik.

Contoh:

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A diatas!
Jawab:
Jadi polinomial karakteristik (1-λ)(1-λ)(-λ)=0
Akar-akar polinomial karakteristik λ1=0, λ2=λ3=0
Jadi, nilai eigen matriks A adalah 0 dan 1.
Vektor eigen untuk λ=0
Jadi, x1=0, x2=0, x3=t, t≠0, tϵR
Jadi
merupakan vektor eigen yang berkorespondensi dengan λ=0
Vektor eigen untuk λ=1
Jadi, x1=a, x2=b, x3=0, a,b≠0, a,bϵR
Jadi
merupakan vektor eigen yang berkorespondensi dengan λ=1.

Semoga bermanfaat :)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Analisis Diskriminan - Materi, Contoh Soal dengan SPSS dan Interpretasinya

Gambar
Definisi Model Analisis Diskriminan ditandai dengan ciri khusus yaitu data variabel dependen yang harus berupa data kategorik, sedangkan data independen justru berupa data non kategorik. Hal ini dapat dimodelkan sebagai berikut: Y 1 =X 1 +X 2 +X 3 +...+X n Dimana: Variabel Independen (X 1 dan seterusnya) adalah data metrik, yaitu data berskala interval atau rasio. Variabel Dependen (Y 1 ) adalah data kategorikal atau nominal. Jika data kategorikal tersebut hanya terdiri dari 2 kode saja, maka disebut " Two-Groups Discriminant Analysis ". Namun, apabila lebih dari 2 kategori disebut " Multiple Discriminant Analysis ". Tujuan Oleh karena bentuk multivariat dari analisis diskriminan adalah dependen, maka variabel dependen adalah variabel yang menjadi dasar analisis diskriminan. Adapun tujuan dari analisis diskriminan antara lain: Mengetahui perbedaan yang jelas antar grup pada variabel dependen. Jika ada perbedaan, variabel independen manakah pad...
Baca selengkapnya

Keanekaragaman Hayati SMA kelas 10

Gambar
KEANEKARAGAMAN HAYATI(KEHATI ) / BIODIVERSITAS -   Keanekaragaman hayati ditunjukkan , antara lain, oleh variasi bentuk,ukuran , jumlah ( frekuensi ), warna , dan sifat-sifat lain makhluk hidup . -   Keseragaman adalah ciri yang sama yang terdapat dalam satu spesies . A. Keanekaragaman hayati dapat dibedakan menjadi tiga tingkat , yaitu keanekaragaman gen , keanekaragaman jenis , dan keanekaragaman ekosistem .        1. Keanekaragaman Hayati pada Tingkat Gen adalahkeanekaragaman        atau variasi diantara organisme dalam satu species.        - Gen adalah faktor pembawa sifat yang terdapat di dalam           kromosom .        - Keanekaragaman gen ditunjukkan , oleh variasi bentuk dan fungsi       ...
Baca selengkapnya

Klasifikasi Makhluk Hidup

Gambar
1. Pengertian Klasifikasi Klasifikasi adalah pengelompokan makhluk hidup dalam takson berdasarkankeseragaman di antara keanekaragaman. 2. Tujuan dan Manfaat Klasifikasi Makhluk Hidup Tujuan dari klasifikasi makhluk hidup adalah : a.      Mengelompokkan makhluk hidup berdasarkan persamaan ciri-ciri yang dimiliki, b.     Mendeskripsikan ciri-ciri suatu jenis makhluk hidup untuk membedakannya dengan makhluk hidup dari jenis yang lain, c.      Mengetahui hubungan kekerabatan antarmakhluk hidup, d.     Memberi nama makhluk hidup yang belum diketahui namanya. 3. Manfaat klasifikasi sbb : a.      Mengetahui jenis-jenis organisme, b.      Mengetahui hubungan antar jenis organisme, c.       Mengetahui hubungan kekerabatan antar organisme yang beraneka ragam. 4. Dasar-Dasar Klasifikasi Makhluk Hidup Dasar untuk mengelompokkan mak...
Baca selengkapnya